Момент инерции колеса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ момента инерции системы: маховое колесо – ось – вал динамическим методом

Фамилия И.О. _________________ Группа __________ Дата ______

Введение

В динамике вращательного движения твердого тела понятия «сила” и «масса” заменяются понятиями «момент силы” и «момент инерции”.

При вращении твердого тела вокруг некоторой оси эффект действия силы зависит не только от величины силы, но и от расстояния точки приложения силы до оси вращения. Поэтому вместо силы вводится момент силы, равный произведению величины действующей силы на плечо (кратчайшее расстояние от оси вращения до направления действующей силы)

Роль массы играет момент инерции. Свойство инертности во вращательном движении зависит не только от массы материальной точки, но и от расстояния этой точки до оси вращения.

Моментом инерции материальной точки называют произведение массы материальной точки на квадрат расстояния ее от оси вращения:

,

где m – масса материальной точки; r – расстояние материальной точки до оси вращения.

Так как тело состоит из множества точек и при вращении тела около некоторой оси каждая точка обладает некоторым моментом инерции относительно этой оси, то моментом инерции тела относительно этой оси вращения называют сумму моментов инерции всех материальных точек тела:

В этой работе ставится задача определения момента инерции системы, состоящей из махового колеса оси и вала.

Небольшое маховое колесо, которое может вращаться с очень малым трением около горизонтальной оси, расположено на высоте h0 от пола. Ось вращения проходит через центр тяжести махового колеса. На оси колеса находится небольшого диаметра вал, на который наматывается шнур (рис. 15).

Если к шнуру подвесить гирю массой m0, и закрутить вал так, чтобы гиря поднялась на высоту g, то гиря и вся система маховое колесо – ось – вал приобретут потенциальную энергию:

,

где m – масса гири , g – ускорение свободного падения , h – высота гири над полом.

Если отпустить гирю, то она начнет падать, раскручивая шнур и вращая всю систему.

Потенциальная энергия гири будет превращаться в кинетическую энергию падающей гири и вращающейся системы маховое колесо – ось – вал

.

Следовательно, пренебрегая трением, по закону сохранения энергии можно записать:

(33)

где — скорость падения гири в момент приземления,

— угловая скорость вращения системы в тот же момент,

-момент инерции системы маховое колесо – ось – вал.

Считая движение гири равноускоренным, можно написать:

где а – ускорение падения гири: t – вре6мя падения.

Следовательно, определив и подставив его значение в формулу скорости , получим

Линейная скорость вращения точки на внешней поверхности вала равна скорости падения гири. Связь между линейной и угловой скоростями вращения:

,

где r – радиус вала и или .Подставляем значения и в формулу (33):

.

Отсюда получаем:

(34)

I. Приборы и установка

В нашей лаборатории установка система маховое колесо – ось – вал смонтирована на кронштейне, который укреплен на стене (рис.15).

Шнур укреплен на валу. Установка имеет тормоз, с помощью которого гиря освобождается для падения.

При установке имеется 2 гири разных масс, метровая линейка или рулетка, секундомер и штангенциркуль.

II, Порядок выполнения работы

1. Измерить метровой линейкой или рулеткой с точностью до 1 см высоту поднятия гири от пола до нижней поверхности гири. Штангенциркулем измерить диаметр вала. Эти данные записать.

2. Снять гирю и взвесить на технико-химических весах с точностью до 0,5 г.

3. Повесить гирю на шнур и освободить маховое колесо от тормоза. В этот момент включить секундомер.

4. Гиря начнет падать, раскручивая вал и маховое колесо. В момент удара гири о пол выключить секундомер. Время падения записать.

5. Закручивая маховое колесо, поднять гирю на прежнюю высоту и повторить опыт, как сказано в пунктах 3-м и 4-м еще два-три раза.

Среднее арифметическое значение времени из этих измерений войдет в расчетную формулу (34).

6. Повторить опыт с другой гирей и сделать те же расчеты.

Подсчитать момент инерции системы маховое колесо – ось – вал по формуле (34).

Среднее арифметическое значение момента инерции из всех измерений принимается за значение момента инерции системы маховое колесо – ось – вал.

7. Вычислить относительную и абсолютную ошибки измерений.

№ п/п

m, кг

r, м

h, м

t, c

tср, с

1

2

Контрольные вопросы

1. Дайте определение вращательного движения. Запишите основное уравнение динамики вращательного движения.

2. Чему равен момент инерции точки? момент инерции тела? Запишите момент инерции диска, обруча, стержня, шара.

3. Сформулируйте теорему Штейнера.

Вычислите момент инерции обруча массы m относительно оси О’О’, находящейся на расстоянии 2R от оси ОО, проходящей через центр тяжести обруча.

4. Чему равен момент силы относительно точки? Определите направление момента силы тяжести на рис. 15.

5. Чему равен момент импульса относительно точки? Определите направление момента импульса вала на рис. 15. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

6. Чему равна кинетическая энергия вращающегося тела? Найдите скорость шара, скатившегося с наклонной плоскости высоты h=0,7 м.

Страницы ← предыдущая следующая → 21 Момент инерции J узлов трансмиссии автомобилей, кг· м2 Автомобиль Маховик Ведомые колеса Ведущие колеса с коленвалом Jд (2 колеса с тормозными (2 колеса с тормоз- барабанами), Jк1 ными барабанами и с полуосями) Jк2 ВАЗ 2101 0,13 1,1 1,42 ВАЗ 2121 0,13 – 9,47 УАЗ 31514 0,37 – 13,0 ГАЗ 3110 0,32 2,44 2,52 ГАЗ 53А 0,52 18,0 35,6 КАМАЗ 5320 2,11 23,3 98,5 Произведем замену: mэ = mа · δ, J д ⋅ i02 2 J k 1 + J k 2 где δ = 1 + 2 ⋅ iкп + 2 = 1 + δ1 ⋅ iкп + δ 2 . 2 rk 0 ⋅ mа rk 0 ⋅ mа ma Если автомобиль загружен не полностью: δ = 1 + (δ1 ⋅ iкп + δ2 ) ⋅ 2 . mx Если автомобиль идет накатом: δ = 1 + δ2 Сила сопротивления разгону автомобиля (инерции): Fи = mэ · аа = δ · mа · аа. В первом приближении можно принять: δ = 1,04+0,04 iкп2 Примечания: 1. Момент инерции тела (диска, цилиндра), вращающегося вокруг своей оси, проходящей через его центр масс, равен m ⋅ r02 , J0 = 2 где r0 – наибольший радиус тела массой m. 2. Если деталь сложная, то её условно разбивают на простые, а моменты складывают. 3. Момент инерции тела, вращающегося вокруг оси, параллельной оси сим- метрии и не проходящей через центр масс, вычисляется по зависимости J = J0 + m ⋅ r2 , где r – расстояние между осями. 4. Момент инерции отверстий нужно вычитать. 2.4. Распределение и перераспределение вертикальных реакций Rz на осях Распределение по осям веса (развесовка) неподвижного автомобиля на горизонтальной площадке определяется по зависимостям: 22 Rz1 = Ga · L2/L; Rz2 = Ga · L1/L. При разгоне автомобиля в гору (см. схему) развесовка изменяется Fвх hв Rz1 Z Fи Fп Fвz Y Tf1 Ff1 X с Rz2 L1 Ga’ Ga Fт hg L L2 Tf2 Ff2 Напоминание: Момент Тf1,2 появляется при переносе Rz1,2 в центр пятна контакта колеса с дорогой. Сумма моментов относительно ведущих (задних) колес = 0: Rz1 ⋅ L + Ga ⋅ sin α ⋅ hg + mэ ⋅ а ⋅ hg + 0.5 ⋅ c x ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ hв − Ga ⋅ cos α ⋅ L2 + T f 1 + T f 2 = 0 Tf1 = Rx1 · rд = f · Rz1 rд Tf2 = Rx2 · rд = f · Rz2 rд Tf1+ Tf1= f Rz1 rд+ f Rz2 rд = (Rz1 + Rz2) f rд = Ga cos α f rд. Из суммы моментов выразим Rz1: Ga ⋅ L2  hg 0,5 ⋅ cx ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 а h r  Rz1 =  cos α − ⋅ sin α −  ⋅ hв − ⋅ g − f ⋅ д  . L  L2 Ga ⋅ L2 g L2 L2   kα kв kи kf Сравнивая последнее с Rz1 на горизонтальной площадке в статике, заменим сумму коэффициентов на обозначение mg: mg1 = kα1 + kв1 + kи1 + kf1 kα; kв; kи; kf – коэффициенты влияния соответственно подъема, сопротив- ления воздуха, ускорения и сопротивления качению. 23 Rz1= mg1 Ga L2/L. Аналогично для задних колес: Rz 2 ⋅ L − Ga ⋅ sin α ⋅ hg − mа ⋅ а ⋅ hg − 0.5 ⋅ c x ⋅ ρ ⋅ A ⋅ V 2 ⋅ hв − Ga ⋅ cos α ⋅ L1 − T f 1 − T f 2 = 0 mg2 = kα2 + kв2 + kи2 + kf2. Ga ⋅ L1  h c ⋅ ρ ⋅ A ⋅V 2 а h r  Rz 2 =  cos α + g ⋅ sin α + x ⋅ hв + ⋅ g + f ⋅ д  L   L1 2 ⋅ Ga ⋅ L1 g L1 L1   Rz2= mg2 Ga L1/L. Пример значений коэффициентов перераспределения нормальных реак- ций mg при старте автомобиля (сила тяги ограничена сцеплением φx = 0,75; аэродинамика и уклон не учтены): Переднеприводные Заднеприводные Rz1 0,85 0,79 Rz2 1,15 1,21 24 3. Динамика автомобиля 3.1. Внешняя скоростная характеристика двигателя (ВСХ) Pmax Тmax T Р Pe ТР ВСХ электро- Те двигателя РТmax Te ВСХ двигателя с Pe системой регули- Ре ровки фаз газо- Te распределения ω0 ωТ ωР ωmax ω0 – min устойчивая под нагрузкой угловая скорость двигателя; ωT – угловая скорость при максимальном крутящем моменте Тmax; ωP – угловая скорость при максимальной мощности двигателя Pmax (при этом крутящий момент Тр не максимальный!); ωmax – max угловая скорость двигателя. Крутящий момент, подведенный от двигателя к трансмиссии, уменьшается за счет инерции двигателя Tтр = Te – Jд εд , где Те – крутящий момент, развиваемый двигателем при текущих оборотах, Н·м; Jд – момент инерции маховика и связанных с ним деталей, кг·м2; εд – угловое ускорение двигателя, с-1. Идеальной можно считать характеристику двигателя, у которой крутящий момент не зависит от угловой скорости его вращения Те = const. Момент, подведенный к колесам Tk = Tтр iтр – Tпотерь; iтр = iкп · iрк · i0 – передаточное число трансмиссии (в КП, РК и главной па- ры); Если трансмиссия жесткая: Tk = Tтр iтр ηтр. Таким образом, получим 25 Tк = (Te – Jд · εд) · iкп · iрк · i0 · ηтр. Для графиков зависимости крутящего момента от угловой скорости вводят коэффициент приспособляемости по моменту КТ = Тmax/ТР. Обычно 1 < КТ < 2. Для паровой машины КТ = 2, но низок КПД; Для газовой турбины КТ=1,8, но высока неравномерность расхода топлива на разных оборотах; Коэффициент приспособляемости по скорости Кω=ωP/ωT Характеристики двигателей Тип двигателя Наддув КТ Кω Диапазон (автомобиля) (турбонад- частот, дув) ωmax/ω0 Искровой – 1,25…1,3 1,33…1,54 4…7 + 1,3…1,35 легковой – 1,15…1,2 1,18…1,66 3,5…5 + 1,2…1,3 дизель- грузовой – 1,1…1,15 1,11…2,5 1,8…3,2 ный +* 1,15…1,3 *– с интеркуллером КТ = 1,25…1,4 Между крутящим моментом и мощность двигателя есть жесткая связь: Ре = Те · ωе. Индекс «е» (engine – двигатель) указывает на то, что параметр «эф- фективный», т.е. при полностью открытом дросселе!!! Так как нахождение ВСХ очень трудоёмкая задача, поэтому в пред- варительных расчетах часто задают зависимость мощности и крутящего момента от оборотов в виде степенного полинома третьего порядка (для современных двигателей с системами регулирования фаз газораспределе- ния степень полинома должна быть больше, например, шестая). Для двига- телей старых конструкций:  ω   ωe  2  ωe   3 Рe = Рmax ⋅ a ⋅  e  + b ⋅   + c ⋅      ω  ω    ωP    P  P    ω   ωe  2  ωe   3 Т e ⋅ ωе = Т P max ⋅ ωP a ⋅  e  + b ⋅   + c ⋅    ;   ω  ω    ωP    P  P    ωe  ωe   2 Т e = Т P max ⋅ a + b ⋅ + c ⋅  . ω    ωP  P   26 kT ⋅ k ω ⋅ ( 2 − k ω ) − 1 2 ⋅ k ω ⋅ (kT − 1) k ω ⋅ (kT − 1) 2 a= ; b=− ; c= . k ω ⋅ (2 − k ω ) − 1 k ω ⋅ (2 − k ω ) − 1 k ω ⋅ (2 − k ω ) − 1 а+b+c=1 Для многих карбюраторных двигателей а = b = 1; с = – 1. Для дизелей С предкамерой а = 0,6 b = 1,4 c = 1,0; С вихрекамерным смесеобразованием а = 0,7 b = 1,3 c = 1,0; Для двухтактных дизелей а = 0,87 b = 1,13 c = 1,0. Мощность и крутящий момент реального двигателя следует умень- шить: Ре=Кр · Ре пасп, где Кр = 0,9…0,95 – коэффициент коррекции мощности двигателя (на привод доп. оборудования: гидронасоса АКП, насоса ГУР, кондиционера, вентилятора, генератора и т.п.). Расчетные формулы: Те=1000 Ре/ωе или Те=9549 Ре/nе. Переводной коэффициент из об/мин в рад/с: ω рад / с 60 = = 9,549 ≈ 9,550 . n об / мин 2π 3.2. Касательные реакции Rx на колесах Реакция по Х на ведомых колесах m ∑J k ⋅ εk R x1 = R z 1 ⋅ f + 1 , rд где f – коэф. сопротивления качению; Rz1 – суммарная реакция на ведомых колесах; m – число ведомых колес; Jк – момент инерции колеса с тор- мозным диском (барабаном, ступицей, полуосью), кг·м2; εк – угловое ускорение колеса, с-2; rд – динамический радиус колеса, м. Реакция по Х на ведущих колесах n Tk − Rz 2 ⋅ f ⋅ rд − ∑ J k ⋅ ε k Rx 2 = 1 , rд где Tк – суммарный крутящий момент, подведенный к полуосям; n – число ведущих колес. 27 С учетом зависимости крутящего момента от скорости двигателя, силу тяги можно переписать в следующем виде n (Te − J д ⋅ ε д ) ⋅ ikn ⋅ i pk ⋅ i0 ⋅ η mp − Rx 2 ⋅ f ⋅ rд − ∑ J k ⋅ ε k Rx 2 = 1 , rд где Те – текущее значение крутящего момента. 3.3. Уравнение движения автомобиля 1 условие – возможность движения: Необходимо, чтобы касательная реакция на ведущих колесах была больше или равна сумме касательных реакций на ведомых колесах и про- екций внешних сил на плоскость дороги (включая силы инерции): Rx2 ≥ Rx1 + ΣFвнеш. 2 условие – максимально возможное ускорение Касательная реакция на ведущих колесах не должна превышать сво- его предела по сцеплению: Rx2 ≤ Rz2 · φx. Запишем силовой баланс автомобиля FТ = Fк + Fп + Fв + Fи (Тяга=колеса+подъем+воздух+инерция) Fк и Fв – при движении автомобиля существуют всегда; Fп и Fи – могут от- сутствовать. Т е ⋅ iкп ⋅ i pk ⋅ i0 ⋅ η тр FТ = ; Fk = fк · Ga · cos α; Fп= Ga · sin α rд Объединим Fk и Fп и назовем дорожное сопротивление Fψ=Fk+Fп= fк · Ga · cos α + Ga · sin α = Ga · (fк · cos α + sin α). ψ = f · cos α+ sin α – коэффициент дорожного сопротивления. Fψ= Ga · ψ; Fв = 0,5 · сх · А · ρв · V2; Fи = δ · mа · а. Уравнение движения автомобиля примет вид: Т е ⋅ iкп ⋅ i0 ⋅η тр = ψ ⋅ Ga + 0,5 ⋅ cx ⋅ A ⋅ ρ в ⋅ V 2 + δ ⋅ M a ⋅ а . rк 28 Сила тяги автомо- 1 FТmax при φ=0,8 биля характеризует- FТmax при φ=0,6 ся набором кривых, зависящих от пере- 2 даточного числа трансмиссии Fψ + Fв 3 Тяговый баланс 4 F автомобиля Fв ω0 – ωmax (силовой баланс) Fψ FТ1/FТ2=i1/i2 и т.д. Vmax V ∆F = FТ – Fψ– Fв – запас силы тяги автомобиля на текущей скорости. Максимально возможное ускорение на текущей скорости: ∆F а= . ma ⋅ δ Максимально возможный подъем на данной передаче: ∆F = Ga ⋅ sin α; ∆F α = arcsin . Ga Максимально возможный вес прицепа (равномерное движение по горизонтальной дороге): Допустим, что Fв приц= 0,25 · Fв авт, тогда F f приц= Gприц · fmax ∆F = 0,25 · Fв авт + Gприц · fmax; откуда ∆F − 0,25 ⋅ Fв авт Gприц = f max . График тягового баланса позволяет решать и другие задачи. Согласно второму условию: n (Т е − J д ⋅ ε д ) ⋅ iкп ⋅ i pk ⋅ i0 ⋅ η тр − ∑ J К ⋅ ε к − Rz 2 ⋅ f k ⋅ rд 1 ≤ Rz 2 ⋅ ϕ x . rд При равномерном движении «исчезает» инерция: 29 Т е ⋅ iкп ⋅ i pk ⋅ i0 ⋅ η тр − Rz 2 ⋅ f k ⋅ rд ≤ Rz 2 ⋅ ϕ x . rд Преобразуем дробь, заменим крутящий момент силой тяги: FТ − Rz 2 ⋅ f k ≤ Rz 2 ⋅ ϕ x . Перегруппировав, окончательно получим: FТ ≤ Rz 2 ⋅ (ϕ x + f k ) . Примечание: при больших φx можно пренебречь fк. Пример: ЛА: Те=100 Н·м(скорректирован) ; Jд=0,132 кг·м2; iкп=4,1; i0=4,22; ηтр=0,9; Jк=0,7 кгм2; n=2; Rz2=7550 Н; rc=0,28 м; а=2 м/с2. Проверить 2 условие (движение без пробуксовки) εк = а / rк; εк = 2 / 0,28 = 7,14 с-2. εе = εк · iкп · i0. εе =7,14 · 4,1· 4,22 = 123 с-2. Ускоренное движение: FТ = / 0,28 = 4501,91 Н. Равномерное движение: FТ = / 0,28 – 7550 · 0,016 = 5561 – 120,8 = 5440,2 Н. Максимально возможная тяга по сцеплению: Fт max = Rz2 · φx. Fт max = 7550 · 0,75 = 5662,5 Н. 3.4. Динамический паспорт автомобиля Тяговая характеристика не удобна для сравнения свойств автомо- билей с разными массой и аэродинамическим сопротивлением: на одной и той же дороге автомобили будут иметь разные максимальные скорости, разное время разгона (ускорение), разные предельные углы подъема. Более удобен динамический фактор, в который входят все неизмен- ные для каждого автомобиля параметры. Логика получения динамического фактора следующая. Сила тяги определяется: FТ = Fк + Fп + Fв + Fи, где Fк, Fп, Fв, Fи – сила сопротивления соответственно качению, подъему, воздуха, инерции. Перенесем Fв в левую часть: Fт – Fв = Fк + Fп + Fи Раскроем правую часть: Fт – Fв = ψ · Ga + ma · δ · а 30 FТ − Fв а Поделим обе части на Ga =ψ + δ Ga g Таким образом, Da а окончательно запишем Da = ψ + δ – динамический фактор. g Графическую зависимость D(V) называют динамической характери- стикой полностью груженного автомобиля, а с учетом загрузки автомоби- ля получим динамический паспорт автомобиля. D0 Dа 0,45 0,40 I ψ1 DmaxI = ψmax 0,35 0,30 II 0,25 ψ2 0,20 III IV 0,15 0,10 fк Dmax 0,05 0 0 25 50 75 100 Загрузка автомобиля H, % Vкр Vmax V Примечания: Масштабы осей Da и D0 обратно пропорциональны весу соответственно груженого и снаряженного автомобиля D = D Ga . 0 a G0 Dmax – максимальный динамический фактор на высшей передаче определяет диапазон дорожных сопротивлений, преодолеваемых автомобилем без переключения на низшие передачи. Vкр – критическая скорость движения определяет диапазон устойчивого движения на высшей передаче при работе двигателя с полной подачей топлива. При V > Vкр увеличение дорожного сопротивления вызывает падение скорости, но при этом возрастает D, скорость стабилизируется на более низком уровне, двигатель работает устойчиво. При V < Vкр увеличение дорожного сопротивления вызывает падение скорости, но при этом падает и D, скорость падает, возможна остановка двигателя. DmaxI = ψmax – максимальный динамический фактор на низшей передаче определяет макисмальное дорожное сопротивление, преодолеваемое автомобилем (либо подъем, либо тяжелая «грязь»). При Vmax дальнейшее ускорение невозможно, т.е. а = 0. Тогда Dа = ψ = fk max. Найдем максимальный угол подъема: Если а = 0, то Dа = ψ; ψ = fk · cos α + sin α. Страницы ← предыдущая следующая →

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *